CH5: Les Caractéristiques de Dispersion

A - L’intervalle de variation ou l’étendue

Définition

C’est la différence entre la plus grande valeur du caractère et la plus petite.
L’intervalle de variation = Val MAX – Val MIN
Δ = 2 Série 1 Δ = 10 série 2 Δ = 18 Série 3
Entendu ou intervalle de variation n’est pas un indicateur toujours fiable, car il dépend des valeurs extrêmes qui prouvent être fausses ou aberrantes.
EX :
17…………….18……………20………….60……….Age
1000 étudiants
Δ = 3
Δ = 60 −17 = 43

B - L’intervalle inter quartile 

a - Définition des quartiles

On appelle 1ér quartile Q1 la valeur du caractère tel que : 25%
des observations lui sont inférieurs et 75% lui sont supérieurs. 25% < ; 75%>
2éme quartile Q2= Me 50% < 50%>
3émé quartile Q3= 75%< 25%>

b - Définition inter quartile

On appelle inter quartile : Q3 – Q1 différence entre 1ér quartile et 3éme quartile.

N.B

Intervalle Inter quartile contient 50% des observations.

 Exemple
N= 82
Rang : 82/4 =20 ,5
Classe : [15-20]
Interpolation : 15+ Δ

Ecart I. Inter quartile   Ni Cum

                                            Q3 – Q1

                                            =24,3 - 17,3

= 7DH 

Interprétation : Si 25 individus ==> Augmentation de 5 DH
Si 01 Individu = Augmentation 5/25 DH
(20,5 - 9) = 11,5 ==> 5/25 * 11,5
Donc Q1 = 15 + 5/25 *11,5 = 17,3 DH
Calcul de Q3
Rang : 82*3/4 =61,5

Classe = [20-25]
Interpolation : si 32 individus ==> augmentation de 5 DH
01 Individu ==> Augmentation de 5/32
(61,5 – 34) = 27,5 individus ==> Augmentation 5/32 *27,5
Donc Q3 = 20+ [(5/32) *27,5]
Signification : 24,3dh c’est le salaire tel que 75% gagnent plus de 24,3 et 25%
gagnent moins de 24,3 DH.
Inter. Inter quartile : 7 DH = Q3-Q1

Signification : pour 50% des effectifs l’écart Maximum de salaire est de 7 DH
Remarque
1- Les déciles : valeur du caractère que 10 % des observations ont une valeur qui est inférieure à D1 et 90% des observations ont une valeur qui est supérieure à D1.
On appelle 9 éme décile de 9 la valeur du caractère tel que 90% des observations lui sont inférieures, et 10% des observations lui sont supérieures. L’intervalle inter décile D9 - D1 contient 80% des observations.
2- Les percentiles : On appelle percentiles P1 la valeur du caractère telle que un pour cent (1%) des observations ont une valeur inférieure à P1 et 98% ont une valeur supérieure à P1.
Pour le statisticien KELLY pour supprimer les valeurs aberrantes il suffit de calculer l’intervalle inter percentile P93 –P07 qui contient 86% des observations.

B - L’écart absolu moyen

Définition

On appelle écart absolu moyen que l’on désigne par la moyenne arithmétique des écarts absolus entre les valeurs du caractère et la moyenne arithmétique.

Exemple

Ca= 442.5 / 100 = 4.42 Kg Χ barre = 67.75 Kg

Signification : Ca = 4.42 Kg signifie qu’en moyenne, chaque individu s’éloigne de la moyenne (67.75 Kg) de 4.42 Kg.

Remarque

Pour dire si une dispersion est grande ou non, pour comparer

deux séries entre elles, on se sert de l’indice de dispersion relatif = Ca / X *100

Exemple

Poids de filles

Poids de garçons

 Dispersion Faible 

2/52 *100= 3.8%

dispersion plus importante

17/68 * 100 = 25%

C - La variance et l’écart type

Définition

On appelle une variance la moyenne arithmétique des carrés des écarts entre les

valeurs du caractère et la moyenne arithmétique.

On appelle écart-type (ou écart quadratique moyen) la racine carré de 6²

Exemple

Le même tableau précédent

Signification : En moyenne chaque individu s’écarte du poids moyen

(67.5 kg) de 5.76 kg.

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CH4: Le Mode

A - Définition

C’est la valeur du caractère le plus fréquent.

B -  Calcul Mode

a - Cas d’une variable discrète

b - Cas d’une série de classe

1 - Par méthode graphique

Elle consiste d’abord à construire l’histogramme

N.B :

Ne pas oublier, lorsqu’ on construit  l’histogramme de corriger les effectifs. 
2 - Par la méthode algébrique

Exemple

- L1: Limite Inférieure de classe modale.

- B1: La différence entre les effectifs de la classe  modale  et les effectifs de classe précédente.

- B2: La différence entre les effectifs de classe modale et les effectifs de classe suivante.

- i: L’intervalle de la classe modale.

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CH3: La Médiane (Me)

A - Définition

On appelle médiane d’une série classée par ordre croissant ou décroissant, la valeur du caractère qui partage en deux parties égales les effectifs.
C’est la valeur du caractère telle que la moitié des effectifs lui est supérieure et l’autre lui est inférieure.

B - Calcul de (ME)

Cas d’une variable discrète. Si la série a un nombre impair de terme

75 62 57 12 18  ---> Me =57

Si la série a un nombre pair :
12 25 32 44 52 69 ---> Intervalle Médian [32-44]

On prend le centre de l’intervalle comme la médiane :
Cas d’une série de classes :

 2éme étape : on repère la classe de Me :
Il s’agit de trouver la classe à laquelle appartient le 41éme individu, pour cela on classe les individus par ordre croissant des salaires, ce qui revient à construire la colonne des effectifs cumulés.
Me = [20-25], on peut calculer  avec plus de précision Me en faisant une interpolation linéaire.

3éme étape : l’interpolation linéaire :
- On connaît les salaires des 34 individus 20
- On connaît les salaires des 66 individus 25

 Le 41éme individus c’est le 7éme individus que je rencontre dans la classe 20 -25, son salaire sera obligatoirement égal à 20 + supplément que l’on calcule par interpolation.
En supposant que les 32 individus de la classe 20-25 sont répartis d’une manière uniforme dans la classe 20-25  puis sont séparés  par la même quantité de salaire
On raisonne alors de la manière suivante :
Si pour 32 individus nous avons un écart de salaire de 5 DH

Pour 1 individu ---> 5/32
Pour 7 ---> individus --->     5/32 * 7 = 1.09 DH
Me=20+1.09 =21.09
La moitié des effectifs gagnent plus de 21,09 DH et l’autre moitié gagne (moins de
21,09 DH).

C - Détermination graphique de la Médiane 

Remarque

Méthode rapide d’interpolation :

le 41 éme  individu normalement la médiane devrait se situer entre le 41éme et le 42 éme, mais on convient lorsque les effectifs sont nombreux de prendre (N / 2).

 

 

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CH2:Les Moyennes

A - Les Moyennes

a - La moyenne arithmétique

Définition

Étant  donnée n  observations qu’on va appeler X1,X2 ,X3,……Xi,…Xn on appelle une moyenne arithmétique simple le nombre x¯

La moyenne arithmétique s’écrit :

La moyenne arithmétique Simple

 Lorsque les observations sont groupées c'est-à-dire que l’on observe:
- N1 fois X1
- N2 fois  X2

 Une moyenne arithmétique pondérée

Exemple

 soit la série des notes de l’exercice qui peut être présentée de la manière suivante:

 Méthode des simplifications des calculs

 Lorsque les calculs sont compliqués, on peut les simplifier en précédant à un changement de variable Par changement d’échelle:

Tout variable Xi peut s’écrire : 

Xi= a X’i 

 - a= nouvelle échelle

- Xi= nouvelle variable

 par changement d’origine et d’échelle: 

tout variable Xi peut s’écrire:

Xo = Nouvelle origine ; a = Nouvelle échelle ; X'i = Nouvelle variable.

Exemple 

 Calculez la moyenne avec changement du variable

Xo = 37.5

a = 5

alors

calcul de la moyenne arithmétique à l’aide des fréquences relatives 

 Exemple

 b - La moyenne géométrique
Définition
Étant donnée n observations connues individuellement (x1;x2;x3......xn) on appelle moyenne géométrique simple de ces n observations la grandeur G t.p.
 La moyenne géométrique Simple

La moyenne géométrique pondérée

 Exemple
calculer la moyenne géométrique

 c - la moyenne harmonique
Définition
Étant donnée n observations connues individuellement x on appelle moyenne harmonique le nombre H.
moyenne harmonique simple

Moyenne harmonique pondérée

Exemple
calculer la moyenne harminique

d - La moyenne  quadratique
Définition
Étant donné n observations connues individuellement X1 ; X2 ;…..xn.
moyenne quadratique simple

moyenne quadratique pondérée

Exemple
calculer la moyenne harminique

      

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Introduction

Introduction

 Avec la représentation graphique nous avons vu comment synthétiser une série avec image.

Dans ce chapitre nous allons voir comment synthétiser une série par quelques chiffres. ces nombres sont appelés caractéristiques d’une série. Soit les série suivantes :

- Serie1 : 78-79-80-83
- Série2 : 60-70-80-90-100
- Série3 : 1-1-1-1-396.

Les séries ont toutes la moyenne 80 même si elles sont très différentes les unes que les autres.

Les valeurs de la 1 série sont proches de la moyenne alors que celles de la  3éme sont ère éloignées de la moyenne.

l y a donc nécessité, pour résumer une série de données de la présenter en 2 types de caractéristiques :

- les caractéristiques de valeurs centrales.

- les caractéristiques de dispersion.

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CH1: LA Représentation Graphique

 
L’intérêt d’un graphique c’est de synthétiser des informations statistiques d’une maniéré imagée, c’est à dire globale.

A -  Le Diagramme En Bâtons

On s’en sert pour représenter des séries à caractère discret.

B - Le Tuyau d’Orgue

On se sert de ce graphique pour représenter des séries à caractère qualitatif.
EX : La population à une station balnéaire est composée de :
Allemands : 45%
Français     : 30%
Espagnoles : 15%
Autres : 10%

C - Le Diagramme

Il permet de représenter des séries de caractères ou les observations sont regroupées en classe.

a - Cas ou les intervalles de classe sont égaux :

Remarque :

- Lorsque une des limites de classe n’est pas précisée dans un tableau il convient de prendre comme intervalle de classe le même que celui  de la classe suivante ou précédente.

- La surface des rectangles est proportionnelle à leur effectif.

b - Cas ou les intervalles de classe ne sont pas égaux :

EX : Répartition de population selon leurs salaires.

Pour tracer l’histogramme, on commence par corriger les effectifs.

D - Le polygone des fréquences

Il permet de donner une image plus lisse du phénomène que l’histogramme.
On l’obtient en joignant les milieux des sommes des rectangles de l’histogramme.

Remarque :

- La surface sous le polygone = la surface de l’histogramme.

- Lorsqu’il y a un très grand nombre de classe, l’intervalle de classe devient de plus en plus petit et le polygone de fréquences se transforme en cours de fréquence.

E - La courbe de cumulation (courbe des f cumulés)

Elle permet de connaître le nombre d’observations supérieures ou inférieures à une valeur donnée.
Les 2 types de courbes de cumulation :

- Courbe cumulative croissante : permet de connaître le nombre d’observations inférieures à une valeur donnée.
- Courbe cumulative décroissante : il permet  de connaître le nombre d’observations supérieures à une valeur donnée.

a - Cas d’une variable continue :

Remarque

On obtiendrait le même graphique si on remplace les fréquences absolues par les fréquences relatives (les pourcentages).

- Courbe cumulée décroissante.

- Courbe cumulée croissante.

b - Cas d’une variable discrète (discontinue)

F - Le diagramme polaire

On l’utilise pour représenter des séries chronologiques c’est à dire des séries ou les observations seront à des temps réguliers.

a - Les principes des coordonnées polaires :

un point M dans l’espace est parfaitement repéré :

- Si on connaît ses coordonnées cartésiennes (x, y).

- Si on connaît  ses coordonnées polaires (e, o).

b - Le diagramme polaire :

Soit la série chronologique suivante : chiffre d’affaire mensuel.

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Statistique descriptive

A - Définition

On appelle statistique la méthode scientifique qui vise à observer, collecter, analyser des données quantitatives.

La statistique descriptive est la partie de la statistique qui sert à décrire un phénomène, c-à-d de mesurer, classer les mesures, présenter ces mesures par quelques indicateurs de manière à donner une idée simple et rapide d’un phénomène étudié.

Les statistiques se sont des données chiffrées relatives à un phénomène étudié.

EX : des statistiques du chômage.

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